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1、数列收敛与存在极限的关系：
数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；
2、数列收敛与有界性的关系：
数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！
例如：Xn=1，-1，1，-1，.....|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛。
收敛数列与其子数列间的关系：
1、子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M
2、若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。
3、如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
扩展资料设函数f(x)的定义域为D，f（x）集合D上有定义。
如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。
反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
数列收敛和有界是两个相互关联的概念，它们之间存在着密切的关系。
首先，我们来了解一下什么是数列的收敛和有界。
数列的收敛是指：对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的第n项与极限的差的绝对值小于ε。换句话说，随着n的增大，数列的第n项越来越接近于一个确定的数值，这个数值就是数列的极限。
数列的有界是指：对于任意给定的正数M，总存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的第n项小于等于M。换句话说，数列的所有项都在某个确定的数值范围内。
接下来，我们来探讨一下数列收敛和有界之间的关系。
1.如果一个数列收敛，那么它一定是有界的。这是因为收敛数列的定义已经保证了随着n的增大，数列的第n项越来越接近于一个确定的数值，这个数值就是数列的极限。因此，我们可以找到一个正数M，使得当n>N时，数列的第n项小于等于M。这就说明了收敛数列是有界的。
2.反过来，如果一个数列是有界的，那么它不一定是收敛的。这是因为有界数列的定义只要求数列的所有项都在某个确定的数值范围内，但并没有限制随着n的增大，数列的第n项是否会越来越接近于一个确定的数值。因此，有界数列并不一定满足收敛数列的定义。
3.然而，对于一个有界且单调递减（或递增）的数列，它是一定收敛的。这是因为单调递减（或递增）的数列保证了随着n的增大，数列的第n项会越来越接近于一个确定的数值。同时，由于数列是有界的，我们可以找到一个正数M，使得当n>N时，数列的第n项小于等于M。这就满足了收敛数列的定义。因此，对于这样的数列，它是一定收敛的。
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